Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧SBC是正三角形，点E是SB的中点，且AE⊥平面ABC．
（1）证明：SD∥平面ACE；
（2）若AB⊥AS，BC=2，求点S到平面ABC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD，交于点F，由已知得EF∥SD，由此能证明SD∥平面ACE．
（2）由已知得AB=

2

，AE=1，AE⊥CE，CE=

3

，AC=2，由V_S-ABC=V_A-SBC，能求出点S到平面ABC的距离．

解答： （1）证明：连结BD，交于点F，
∵ABCD是平行四边形，∴F是BD的中点，
又∵点E是SB的中点，∴EF∥SD，
∵SD?平面ACE，EF?平面ACE，
∴SD∥平面ACE．

（2）解：∵AB⊥AS，BC=2，且点E是SB的中点，
∴AB=

2

，AE=1，
又∵AE⊥平面SBC，CE?平面SBC，∴AE⊥CE，
∴侧面SBC是正三角形，∴CE=

3

，
∴AC=

AE2+CE2

=2，
∴△ABC是底边为

2

，腰为2的等腰三角形．
∴S△ABC=

1

2

×

2

×

4- 1 2

=

7

2

，
设点S一平面ABC的距离为h，
由V_S-ABC=V_A-SBC，得

1

3

h•S△ABC=

1

3

AE•S△SBC，
∴h=

AE•S△SBC

S△ABC

=

2 3

7

=

2 21

7

．

点评：本题考查空间点、线、面的位置，考查线线平行、线面平行、线线垂直与线面垂直，考查等积法求几何体的体积，考查空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力及化归思想等．