Question

已知曲线C：
（1）当为何值时，曲线C表示圆；
（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线交于M、N两点，且，求的值.
（3）在（1）的条件下，设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) (2)(3)存在,

试题分析：
(1)根据圆的一般式可知, ,可得范围;
(2)将(1)中圆变形为标准方程,可知存在于半径中,所以根据圆中 ,先求出圆心到直线的距离,即可求半径得.
(3)假设存在,则有,设出两点坐标,可得.根据直线与圆的位置关系是相交,所以联立后首先根据初步判断的范围,而后利用根与系数的关系用表示出,将其带入解之,如有解且在的范围内,则存在,否则不存在.
（1）由，得.
（2），即，
所以圆心,半径，
圆心到直线的距离.
又,在圆中
，即，．
（3）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，所以.
设，则有,即.
由得，
，即，又由（1）知，
故
根据根与系数的关系知:
,
                                               
故存在实数使得以为直径的圆过原点，的使用.