Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是减函数，且f（1）=0，则不等式f（log_0.5x）＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化，即可求出不等式的解集．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是减函数，且f（1）=0，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，且f（-1）=f（1）=0，
若log_0.5x＞0，则不等式f（log_0.5x）＜0等价为f（log_0.5x）＜f（1），
即log_0.5x＞1，此时解得0＜x＜0.5．
若log_0.5x＜0，则不等式f（log_0.5x）＜0等价为f（log_0.5x）＜f（-1），
即log_0.5x＞-1=log_0.52，此时解得1＜x＜2．
综上不等式的解为0＜x＜0.5或1＜x＜2，
故答案为：{x|0＜x＜0.5或1＜x＜2}．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式的解法，利用对数不等式的解法是解决本题的关键．