Question

已知命题p：方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，命题q：关于实数t的不等式t²-2at-1＜0成立
（1）若命题p为真，求实数t的取值范围
（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：（1）根据椭圆的定义和方程，求实数t的取值范围
（2）根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可．

解答： 解：（1）由题意得：4-t＞t-1＞0，…（4分）
则1＜t＜

5

2

…．（6分）
（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，
则区间（1，

5

2

）是不等式t²-2at-1＜0解集的真子集…．（8分）
令f（t）=t²-2at-1，其恒过（0，-1）…．（10分）
故只需f（

5

2

）≤0，…．（12分）
即

25

4

-5a+1≤0，
解得a≥

21

20

…．（14分）

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据椭圆的定义以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．