Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+ax-$\frac{1}{2}$a²+36（a∈R）．
（1）若f（x）在R上单调递增，求a的值；
（2）当a＞1时，f（x）的极小值大于0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（x）≥0在R恒成立，结合二次函数的现在求出a的值即可；
（2）求出f（x）的单调区间，求出f（x）的极小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+ax-$\frac{1}{2}$a²+36，
f′（x）=x²-（a+1）x+a，
若f（x）在R上单调递增，则f′（x）≥0在R恒成立，
∴△=（a+1）²-4a≤0，
解得：a=1；
（2）由（1）得：f′（x）=（x-a）（x-1），a＞1，
令f′（x）＞0，解得：x＞a或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，1）递增，在（1，a）递减，在（a，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（a）=-$\frac{1}{6}$a³+36＞0，
解得：a＜6，
故a的范围是（1，6）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．