Question

15．已知锐角△ABC的内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sinB，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，cosB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量平行列出方程，使用三角函数公式化简可求得2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，结合B的范围得出B的值；
（Ⅱ）利用正弦定理求出a=2sinA，c=2sinC，利用三角函数恒等变换的应用可得△ABC的周长L=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，利用正弦函数的性质即可得解其最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（2sinB，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，cosB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
∴2sinBcosB+$\sqrt{3}$cos2B=0
即sin2B+$\sqrt{3}$cos2B=0，
∴2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0…4分
∵角B为锐角，2B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），可得：2B+$\frac{π}{3}$=π，
∴B=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=2$，
∴a=2sinA，c=2sinC，
∴△ABC的周长L=a+c+$\sqrt{3}$=2sinA+2sinC+$\sqrt{3}$
=2sinA+2sin（A+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，…10分
∴当A=$\frac{π}{3}$时，三角形周长最大，最大值为3$\sqrt{3}$…12分

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，平面向量的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．