Question

12．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据几何体建立空间直角坐标系，由三视图求出A、C、D、E的坐标，设平面DEC的法向量，根据平面法向量的条件列出方程，求出法向量的坐标，由两平面的法向量求出成的锐二面角的余弦值，由平方关系求出正弦值，由商的关系即可求出正切值．

解答 解：如图建立空间直角坐标系，截面是平面CDE，
由三视图得，A（0，0，0），E（0，0，2），D（0，2，4），
C（2，0，0），
所以$\overrightarrow{DE}=（0，-2，-2）$，$\overrightarrow{CE}=（-2，0，2）$，
设平面DEC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CE}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-2y-2z=0\\-2x+2z=0\end{array}\right.$，
不妨令x=1，则y=-1，z=1，
可得$\overrightarrow n=（1，-1，1）$，
又$\overrightarrow{AE}=（0，0，2）$为平面ABC的法向量，
设所求二面角为θ，则$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AE}}|}}=\frac{2}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵θ是锐二面角，∴$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=\sqrt{2}$，
故选B．

点评 本题考查几何体的三视图，利用空间向量、平面的法向量求二面角，考查分析问题、解决问题的能力．