Question

（本小题14分）

如图4，正方体中，点E在棱CD上。
（1）求证：；
（2）若E是CD中点，求与平面所成的角；
（3）设M在上，且，是否存在点E，使平面⊥平面，若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由。

Answer 1

略

解：以D为坐标原点，DA，DC，依次为轴、轴，轴正方向建立空间直角坐标系，并设正方体棱长为1,设点E的坐标为。                 ………2分
（1），
∵ ，
∴ 。                                              ………5分
（2）当E是CD中点时，
，，设平面的一个法向量是，
则由得一组解是，………7分
又，由，
从而直线与平面所成的角的正弦值是。      ………9分
（3）设存在符合题意的E点为E(0,t,0)
可得平面的一个法向量是，
平面的一个法向量是 …11分
∵ 平面⊥平面，
∴ ，
解得或（舍），                                   ………13分
故当点E是CD的中点时，平面⊥平面，      ………14分