题目内容
某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造一个平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件是：建1米新墙费用为a元，修1米旧墙费用为
元，拆1米旧墙用所得材料再建1米新墙所得费用为
元，现有两种方案：
（1）利用旧墙的一段x米（x＜14）为厂房的一边长（剩下的旧墙拆掉建成新墙）；
（2）矩形厂房的一边长为x（x≥14）（所有旧墙都不拆），问如何利用旧墙才能使得建墙费用最省？
| a |
| 4 |
| a |
| 2 |
（1）利用旧墙的一段x米（x＜14）为厂房的一边长（剩下的旧墙拆掉建成新墙）；
（2）矩形厂房的一边长为x（x≥14）（所有旧墙都不拆），问如何利用旧墙才能使得建墙费用最省？
考点：函数模型的选择与应用
专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：（1）拆去的旧墙的长为14-x，所以建新墙的长为：
+
+x-（14-x），故可得y=100[2（x+
）-14]+25x+50（14-x）（0＜x＜14），利用基本不等式可求建墙费用最省；
（2）y=100[2（x+
）-14]+25×14（x≥14），利用y在[14，+∞）上为增函数，可求建墙费用最省；两方案比较，可得结论．
| 126 |
| x |
| 126 |
| x |
| 126 |
| x |
（2）y=100[2（x+
| 126 |
| x |
解答：
解：（1）∵利用旧墙的一段x米，
∴拆去的旧墙的长为14-x，（x＜14）
∴建新墙的长为：
+
+x-（14-x），
∴y=a[（
+
+x）-（14-x）]+
×x+
（14-x）
=（
x+
-7）a≥35a （0＜x＜14）…（4分）
当且仅当x=12∈（0，14）时建墙费用最省为35a元．…（6分）
（2）矩形厂房的一边长为x（x≥14）（所有旧墙都不拆），
建新墙的长为：
+
+x-（x-14），
∴y=a[（
+
+x）-（14-x）]+
×x
=（2x+
-
）a≥35a （x≥14）…（9分）
由对勾函数的单调性可得y在[14，+∞）上为增函数，
当且仅当x=14时建墙费用最省为35.5a元． …（11分）
故用方案一利用旧墙12米，所得费用最省 …（12分）
∴拆去的旧墙的长为14-x，（x＜14）
∴建新墙的长为：
| 126 |
| x |
| 126 |
| x |
∴y=a[（
| 126 |
| x |
| 126 |
| x |
| a |
| 4 |
| a |
| 2 |
=（
| 7 |
| 4 |
| 252 |
| x |
当且仅当x=12∈（0，14）时建墙费用最省为35a元．…（6分）
（2）矩形厂房的一边长为x（x≥14）（所有旧墙都不拆），
建新墙的长为：
| 126 |
| x |
| 126 |
| x |
∴y=a[（
| 126 |
| x |
| 126 |
| x |
| a |
| 4 |
=（2x+
| 252 |
| x |
| 21 |
| 2 |
由对勾函数的单调性可得y在[14，+∞）上为增函数，
当且仅当x=14时建墙费用最省为35.5a元． …（11分）
故用方案一利用旧墙12米，所得费用最省 …（12分）
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案优化问题，考查函数最值的求解方法，属于中档题．
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