Question

在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

m

=（b，

3

cosB），

n

=（sinA，-a），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标及两向量垂直时满足的条件列出关系式，利用正弦定理化简，整理求出tanB的值，即可确定出B的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把b，cosB的值代入得到关系式，再利用正弦定理化简sinC=2sinA，得到关系式，联立求出a与c的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）∵

m

=（b，

3

cosB），

n

=（sinA，-a），且

m

⊥

n

，
∴bsinA-

3

acosB=0，
利用正弦定理化简得：sinB•sinA-

3

sinAcosB=0，
∵sinA≠0，
∴sinB-

3

cosB=0，即tanB=

3

，
又0°＜B＜180°，
∴B=60°；
（2）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，b=3，
∴a²+c²-ac=9①，
又∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得：c=2a②，
由①②，解得：a=

3

，c=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×

3

×2

3

•sin60°=

3 3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．