Question

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax²＋bx(a≠0)，设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)的图象C₂交于两点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴垂线分别交C₁、C₂于点M、N，问是否存在点R，使C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线互相平行？若存在，求出点R的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

不存在

设点P、Q的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，且0＜x₂＜x₁，则点M、N的横坐标均为.
∴C₁在点M处的切线斜率为k₁＝|x＝＝，
C₂在点N处的切线斜率为k₂＝ax＋b|x＝＋b，
假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线互相平行，
则k₁＝k₂，即＋b.
∵P、Q是曲线C₁、C₂的交点，∴
两式相减，得lnx₁－lnx₂＝，
即lnx₁－lnx₂＝(x₁－x₂) ，
∴lnx₁－lnx₂＝，即ln
设u＝＞1，则lnu＝，u＞1(*)．
令r(u)＝lnu－，u＞1，则r′(u)＝.
∵u＞1，∴r′(u)＞0，∴r(u)在(1，＋∞)上单调递增，
故r(u)＞r(1)＝0，则lnu＞，
这与上面(*)相矛盾，所以，故假设不成立．
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行．