Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，有结论：
①直线l过定点（3，1）；
②不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两不同点；
③直线被圆C截得的弦长最小值时l的方程为y=2x-5．
以上结论正确的有

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：①（3，1）代入直线l的方程成立，由此得①正确；②直线l过定点（3，1），且点（3，1）在圆C内部，由此判断②正确；③圆心C（1，2），定点M（3，1），直线被圆C截得的弦长最小值时l过M（3，1）且垂直于直线垂直于直线MC，由此判断③正确．

解答： 解：①（3，1）代入直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
得（2m+1）×3+（m+1）×1-7m-4=（7m+4）-7m-4=0，成立，
∴直线l过定点（3，1），故①正确；
②∵直线l过定点（3，1），且点（3，1）在圆C内部，
∴不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两不同点，故②正确；
③圆心C（1，2），定点M（3，1），
直线被圆C截得的弦长最小值时l过M（3，1）且垂直于直线垂直于直线MC，
∵k_MC=

2-1

1-3

=-

1

2

，∴k_l=2，
∴l的方程为：y-1=2（x-3），整理，得：y=2x-5，故③正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．