Question

已知函数f（x）（x∈R）满足f（2）=1，且f（x）的导函数f′（x）＞

2

3

，则关于x的不等式f（x）＞

2x

3

-

1

3

的解集为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：构造函数（x）=f（x）-（

2x

3

-

1

3

），求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：构造函数g（x）=f（x）-（

2x

3

-

1

3

），
则函数的导数为g′（x）=f′（x）-

2

3

，
∵f′（x）＞

2

3

，∴g′（x）＞0，
即函数g（x）是增函数，
∵f（2）=1，
∴g（2）=f（2）-（

4

3

-

1

3

）=1-1=0，
即当x＞2时，g（x）＞g（0）=0，
即不等式f（x）＞

2x

3

-

1

3

的解集为（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）

点评：本题主要考查不等式的求解，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．