Question

12．将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中（每个盒子容纳的小球的个数没有限制），则1号盒子中小球的个数ξ的期望为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中，每个小球有4种不同的放法，共有4³种；
1号盒子中小球的个数ξ的可能取值为0，1，2，3；求出对应的概率值，
写出随机变量ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：将3个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个小盒中，
每个小球有4种不同的放法，共有4³=64种；
则1号盒子中小球的个数ξ的可能取值为0，1，2，3；
且P（ξ=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{•3}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}•3}{{4}^{3}}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{•3}^{0}}{{4}^{3}}$=$\frac{1}{64}$；
则随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

数学期望为E（ξ）=0×$\frac{27}{64}$+1×$\frac{27}{64}$+2×$\frac{9}{64}$+3×$\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题．