Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A₁A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC₁与平面ABA₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

(1)    (2)

解　(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1，1,0)，A₁(0,0,4)，C₁(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC₁的法向量为n₁＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n₁·＝0，n₁·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n₁＝(2，－2,1)是平面ADC₁的一个法向量．取平面AA₁B的一个法向量为n₂＝(0,1,0)，设平面ADC₁与平面ABA₁所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.
因此，平面ADC₁与平面ABA₁所成二面角的正弦值为.