Question

7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式e^xf（x）＞e^x+1+2的解集为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，e+2）
• C． （-∞，0）∪（e+2，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^xf（x）-e^x+1-2（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：设g（x）=e^xf（x）-e^x+1-2（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x+1=e^x[f（x）+f′（x）-e]，
∵f（x）+f′（x）＜e，
∴f（x）+f′（x）-e＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定义域上单调递减，
∵f（0）=e+2，
∴g（0）=e⁰f（0）-e-2=e+2-e-2=0，
∴g（x）＞g（0），
∴x＜0，
∴不等式的解集为（-∞，0）
故选：A．

点评 本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．