Question

16．平面直角坐标系中，已知直线l：x=4，定点F（1，0），动点P（x，y）到直线l的距离是到定点F的距离的2倍．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若M为轨迹C上的动点，直线m过点M且与轨迹C只有一个公共点，求证：此时点E（-1，0）和点F（1，0）到直线m的距离之积为定值．

Answer 1

分析 （1）设点P到l的距离为d，依题意得|x-4|=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，由此能得到轨迹C的方程．
（2）设M（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$．确定直线m的方程为$\frac{mx}{4}+\frac{ny}{3}$=1，求出点E（-1，0）和点F（1，0）到直线m的距离之积，即可得出结论．

解答 （1）解：设点P到l的距离为d，依题意得d=2|PF|，
即|x-4|=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得，轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．         
（2）证明：设M（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$．
∵直线m过点M且与轨迹C只有一个公共点，
∴直线m的方程为$\frac{mx}{4}+\frac{ny}{3}$=1，
∴点E（-1，0）和点F（1，0）到直线m的距离之积为$\frac{|-\frac{m}{4}-1||\frac{m}{4}-1|}{\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{{n}^{2}}{9}}$=$\frac{|1-\frac{{m}^{2}}{16}|}{\frac{{m}^{2}}{16}+\frac{1}{3}-\frac{{m}^{2}}{12}}$=3为定值．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．