Question

11．如图所示，抛物线C：x²=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点E（-1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x²+（y-2）²=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义可知：|MF|=m+$\frac{p}{2}$=4，及16=2pm，联立即可求得p的值，求得抛物线C的标准方程；
（2）由题意设直线EA：x=ky-1，代入抛物线方程，根据△=0，求得斜率k，求得A点坐标，同理求得B点坐标，求得直线AB的方程，即可求得直线AB是否经过焦点FF（0，2）．

解答 解：（1）抛物线C的准线方程为$y=-\frac{p}{2}$，
∴|MF|=m+$\frac{p}{2}$=4，
由M（4，m）在椭圆上，
∴16=2pm，
∴p²-8p+16=0，解得p=4，
∴抛物线C的标准方程为x²=8y…（4分）
（2）设EA：x=ky-1，联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{{x^2}=8y}\end{array}}\right.$，消去x得：k²y²-（2k+8）y+1=0，
∵EA与C相切，
∴△=（2k+8）²-4k²=0，解得k=-2，
∴${y_A}=\frac{1}{2}，{x_A}=-2$，求得$A（{-2，\frac{1}{2}}）$，…（7分）
设EB：x=ty-1，联立$\left\{{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{{x^2}+{{（{y-2}）}^2}=4}\end{array}}\right.$，消去x得：（t²+1）y²-（2t+4）y+1=0，
∵EB与圆F相切，
∴△=（2t+4）²-4（t²+1）=0，即$t=-\frac{3}{4}$，
∴${y_B}=\frac{4}{5}，{x_B}=-\frac{8}{5}$，求得$B（{-\frac{8}{5}，\frac{4}{5}}）$，…（10分）
∴直线AB的斜率${k_{AB}}=\frac{3}{4}$，
可得直线AB的方程为$y=\frac{3}{4}x+2$，经过焦点F（0，2）…（12分）

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，直线的方程，考查转化思想，属于中档题．