Question

1．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（1+a）x²+4ax+24a，其中常数a＞1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），即可得出单调性．
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．进而得出．

解答 解：（1）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），
由a＞1知，当x＜2时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（-∞，2）是增函数；
当2＜x＜2a时，f'（x）＜0，故f（x）在区间（2，2a）是减函数；
当x＞2a时，f'（x）＞0，故f（x）在区间（2a，+∞）是增函数．
综上，当a＞1时，f（x）在区间（-∞，2）和（2a，+∞）是增函数，在区间（2，2a）是减函数．
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值.$f（{2a}）=\frac{1}{3}{（{2a}）^3}-（{1+a}）{（{2a}）^2}+4a•2a+24a=-\frac{4}{3}{a^3}+4{a^2}+24a$，f（0）=24a，
由假设知$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{f（{2a}）≥0}\\{f（0）≥0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{-\frac{4}{3}a（{a+3}）（{a-6}）≥0}\\{24a≥0}\end{array}}\right.$，解得1＜a≤6，
故a的取值范围是（1，6]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．