Question

6．如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，0＜β＜$\frac{π}{2}$＜α＜π
（I）证明：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（II）若α=$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{2}{3}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 （I）利用向量的数量积公式，即可证明；
（II）利用差角的余弦公式，再两边平方，即可得出结论．

解答 （I）证明：由题意得，$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=cosαcosβ+sinαsinβ         …（2分）
又因为$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角为α-β，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cos（α-β）=cos（α-β），…（4分）
综上cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立．  …（6分）
（II）解：∵α=$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{2}{3}$，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosβ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinβ=$\frac{2}{3}$，…（8分）
∴sinβ-cosβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，两边平方得，1-sin2β=$\frac{8}{9}$  …（10分）
∴sin2β=$\frac{1}{9}$．                                …（12分）

点评 本题考查差角的余弦公式的证明与运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．