题目内容
函数f（x）=（lgx）2-2alg（10x）+a2（1≤x≤10）的最小值为g（a），求g（a）的解析式．
考点：函数的最值及其几何意义
专题：函数的性质及应用
分析：利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，讨论对称轴和区间的关系即可得到结论．
解答：
解：令t=lgx，∵1≤x≤10，
∴t∈[0，1]，
∵f（x）=（lgx）2-2alg（10x）+a2=（lgx）2-2a-2algx+a2，
∴函数等价为y=t2-2at+a2-2a，对称轴为直线t=a，
（1）若a≤0时，y=t2-2at+a2-2a在[0，1]内递增，
当t=0时，函数取得最小值，此时最小值为g（a）=a2-2a．
（2）若0＜a＜1，即时．
当t=a，函数取得最小值g（a）=a2-2a2+a2-2a=-2a，
（3）若a≥1，y=t2-2at+a2-2a在[0，1]内递减，
当t=1，函数取得最小值g（a）=1-2a+a2-2a=a2-4a+1，
综上，g（a）=
．
∴t∈[0，1]，
∵f（x）=（lgx）2-2alg（10x）+a2=（lgx）2-2a-2algx+a2，
∴函数等价为y=t2-2at+a2-2a，对称轴为直线t=a，
（1）若a≤0时，y=t2-2at+a2-2a在[0，1]内递增，
当t=0时，函数取得最小值，此时最小值为g（a）=a2-2a．
（2）若0＜a＜1，即时．
当t=a，函数取得最小值g（a）=a2-2a2+a2-2a=-2a，
（3）若a≥1，y=t2-2at+a2-2a在[0，1]内递减，
当t=1，函数取得最小值g（a）=1-2a+a2-2a=a2-4a+1，
综上，g（a）=
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点评：本题主要考查函数最值的求解，利用换元法结合二次函数的性质是解决本题的关键．
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