题目内容
8．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61．（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（3）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，作△ABC，求△ABC的面积．
分析 （1）根据向量的数量积的运算和向量的夹角公式即可求出；
（2）可先平方转化为向量的数量积，即可求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（3）先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值．
解答 解：（1）由（2a-3b）•（2a+b）=61，
得4|a|2-4a•b-3|b|2=61．
∵|a|=4，|b|=3，代入上式求得a•b=-6，
∴cosθ=$\frac{a•b}{|a|•|b|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$，
又θ∈[0°，180°]，
∴θ=120°．
（2）|a+b|2=（a+b）2=|a|2+2a•b+|b|2
=42+2（-6）+32=13，
∴|a+b|=$\sqrt{13}$．
同理，|a-b|=$\sqrt{a2-2a•b+b2}$=$\sqrt{37}$，
（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，
|$\overrightarrow{AB}$|=|a|=4，|$\overrightarrow{AC}$|=|b|=3，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•sin∠BAC
=$\frac{1}{2}$×3×4sin120°=3$\sqrt{3}$．
点评 本题考查了向量的数量解得运算和向量的夹角公式以及向量的模和三角形的面积公式，属于中档题．
练习册系列答案
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3．在边长为2的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形3个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）
| A． | $1-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$ | B． | $1-\frac{{\sqrt{3}π}}{6}$ | C． | $1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | D． | $1-\frac{{\sqrt{3}π}}{3}$ |
17．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-3）f′（x）≤0，则必有（ ）
| A． | f（0）+f（6）≤2f（3） | B． | f（0）+f（6）＜2f（3） | C． | f（0）+f（6）≥2f（3） | D． | f（0）+f（6）＞2f（3） |