Question

18．已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a为常数）．
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）当0＜a≤4时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用极值的 定义，即可求a的值；（Ⅱ）当0＜a≤4时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-a．
（1）由已知得：f′（1）=0，∴1+2-a=0，∴a=3；
（2）当0＜a≤4时，f′（x）=$\frac{{2（x-\frac{a}{4}）}^{2}+1-\frac{{a}^{2}}{8}}{x}$，
0＜a≤2$\sqrt{2}$时，1-$\frac{{a}^{2}}{8}$≥0，而x＞0，即f′（x）≥0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
2$\sqrt{2}$＜a≤4时，1-$\frac{{a}^{2}}{8}$＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$或x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，
故函数在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$），（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，+∞）递增，在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$）递减．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性问题．