题目内容
20．已知函数f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，其中a＞0．（1）若直线y=kx-1与曲线y=f（x）相切于点（1，0），求a，k的值
（2）求函数f（x）的单调区间．
分析 （1）求出k的值，求出f（x）的导数，得到f′（1）=a=k=1；（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
解答 解：（1）直线y=kx-1与曲线y=f（x）相切于点（1，0），
将x=1，y=0代入y=kx-1解得：k=1，
∵f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，∴f′（x）=$\frac{a（2-x）}{{x}^{3}}$，
∴f′（1）=a=k=1，
故a=k=1；
（2）f′（x）=$\frac{a（2-x）}{{x}^{3}}$，a＞0，x≠0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2且，令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）递减，在（0，2）递增．
点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及曲线的切线方程问题，是一道中档题．
练习册系列答案
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11．若a、b为两条异面直线，且分别在两个平面α、β内，若α∩β=l，则直线l（ ）
| A． | 与a、b 都相交 | B． | 与a、b都不相交 | ||
| C． | 至少与a、b中的一条相交 | D． | 至多与a、b中的一条相交 |
5．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式exf（x）-ex＞2015（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
| A． | （2015，+∞） | B． | （-∞，0）∪（2015，+∞） | C． | （-∞，0）∪（0，+∞） | D． | （-∞，0） |
9．设h（x）=2x-sinx，g（x）=lnx+3x，f（x）=$\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{2}$，k（x）=$\frac{1}{x}$-x，则（ ）
| A． | h（sin27°）＞h（sin26°） | B． | g（20.1）＞g（20.2） | C． | f（π）＜f（3） | D． | k（ln2）＜k（ln3） |