Question

17．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-3）f′（x）≤0，则必有（　　）

• A． f（0）+f（6）≤2f（3）
• B． f（0）+f（6）＜2f（3）
• C． f（0）+f（6）≥2f（3）
• D． f（0）+f（6）＞2f（3）

Answer 1

分析 分x≥3和x＜3两种情况对（x-3）f′（x）≤0进行讨论，由极值的定义可得当x=3时f（x）取得极大值也为最大值，故问题得证．

解答 解：依题意，当x≥3时，f′（x）≤0，函数f（x）在（3，+∞）上是减函数；
当x＜3时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，3）上是增函数，
故当x=3时f（x）取得极大值也为最大值，即有
f（0）≤f（3），f（6）≤f（3），
∴f（0）+f（6）≤2f（3）．
故选：A．

点评 本题以解不等式的形式，考查了利用导数求函数极值的方法，同时灵活应用了分类讨论的思想，是一道好题．