Question

【题目】如图所示的多面体中，四边形ABCD为菱形，，，面ABCD，，，异面直线AF，CD所成角的余弦值为．

Ⅰ求证：面面EDB；

Ⅱ求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).

【解析】

Ⅰ推导出，从而，进而面EBD，由此能证明面面EDB;Ⅱ推导出四边形EFOD是平行四边形，从而，由面ABCD，得面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

Ⅰ四边形ABCD是菱形，，

面ABCD，面ABCD，，

，面EBD，

面ACF，面面EDB．

Ⅱ四边形ABCD是菱形，，，

，，

，，，，

四边形EFOD是平行四边形，，

面ABCD，面ABCD，

以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，0，，设0，，

则，，

，，

解得，则0，，1，，

1，，，，，

设平面AFB的法向量y，，

则，取，得，

设平面AFE的法向量y，，

则，取，得0，，

设二面角的平面角为，由图形得为钝角，

则．

二面角的余弦值为．