Question

16．已知函数f（x）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}$（a^x-a^-x），其中a＞0，a≠0．
（Ⅰ）讨论f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）试比较f（1）-1与f（2）-2，f（2）-2与f（3）-3的大小，并由此归纳出f（x）-x与f（x+1）-（x+1）（其中x≥1）的大小关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）先求导，再判导数的符号．
（2）直接计算f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3，进行比较．比较大小可用做差比较法．归纳一般的结论，构造函数利用单调性进行证明．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x+a^-x）lna，
若0＜a＜1，则$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，lna＜0，所以f′（x）＞0；
若a＞1，则$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，lna＞0，所以f′（x）＞0，
因此，任意a＞0且a≠1，都有f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增．
（Ⅱ）直接计算知f（1）-1=0，f（2）-2=a+a^-1-2，f（3）-3=a²+a^-2-2，
根据基本不等式a+a^-1-2＞0，所以f（2）-2＞f（1）-1，
又因为（a²+a^-2-2）（a+a^-1-2）=[（a+a^-1）²-（$\sqrt{a}$-$\sqrt{{a}^{-1}}$）²]=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{{a}^{-1}}$）²（a+a^-1+1）=$\frac{1}{a}$（a-1）²（a+a^-1+1）＞0，
所以f（3）-3＞f（2）-2．
假设?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
记g（x）=[f（x+1）-（x+1）]-[f（x）-x]$\frac{a}{{a}^{2}-1}$[（a^x+1-a^-x-1）-（（a^x-a^-x）]-1=$\frac{{a}^{x+1}+{a}^{-x}}{a+1}$-1，
g′（x）=$\frac{{a}^{x+1}+{a}^{-x}}{a+1}$lna，
与（Ⅰ）类似地讨论知，对?x＞0和?a＞0且a≠1都有g′（x）＞0，g（x）在[0，+∞）上的单调递增，g（0）=0，
所以g（x）＞g（0）=0，即?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．

点评 本题考查比较大小、归纳推理、函数单调性的证明及应用，综合性强，难度较大．