Question

袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
（Ⅰ）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
（i）求恰好摸5次停止的概率；
（ii）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望Eξ．
（Ⅱ）若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）（i）由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，恰好摸5次停止表示第次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试验公式得到结果．
（ii）由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止，随机变量ξ的取值为0，1，2，3；由n次独立重复试验概率公式得到概率，写出分布列和期望．
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是3m，而满足条件的是，根据古典概型公式得到关于P的方程，解方程即可．
解答：解：（Ⅰ）（i）由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，恰好摸5次停止表示第五次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试验公式得到
C₄²×××=．
（ii）由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止
∴随机变量ξ的取值为0，1，2，3；
由n次独立重复试验概率公式P_n（k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k，得
P（ξ=0）=C₅×=；
P（ξ=1）=C₅¹××=；
P（ξ=2）=C₅²××=；
P（ξ=3）=++=． 

随机变量ξ的分布列是
∴ξ的数学期望是Eξ=×0+×1+×2+×3=．

（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，
设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球．
试验发生的所有事件是3m，
而满足条件的是，
根据古典概型公式得到
=，
∴p=．
点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．