Question

袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是

1

3

，从B中摸出一个红球的概率为p．
（Ⅰ）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
（i）求恰好摸5次停止的概率；
（ii）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布率及数学期望Eξ．
（Ⅱ）若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是

2

5

，求p的值．

Answer 1

分析：（I）（i）由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，恰好摸5次停止表示第次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试验公式得到结果．
（ii）由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止，随机变量ξ的取值为0，1，2，3；由n次独立重复试验概率公式得到概率，写出分布列和期望．
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是3m，而满足条件的是

1

3

m+2mp，根据古典概型公式得到关于P的方程，解方程即可．

解答：解：（Ⅰ）（i）由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，恰好摸5次停止表示第五次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试验公式得到
C₄²×(

1

3

)2×(

2

3

)2×

1

3

=

8

81

．
（ii）由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止
∴随机变量ξ的取值为0，1，2，3；
由n次独立重复试验概率公式P_n（k）=C_n^kp^k（1-p）^n-k，得
P（ξ=0）=C₅⁰×(1-

1

3

)5=

32

243

；
P（ξ=1）=C₅¹×

1

3

×(1-

1

3

)4=

80

243

；
P（ξ=2）=C₅²×(

1

3

)2×(1-

1

3

)3=

80

243

；
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

3

)3+

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

+

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2•

1

3

=

17

81

． 

随机变量ξ的分布列是
∴ξ的数学期望是Eξ=

32

243

×0+

80

243

×1+

80

243

×2+

51

243

×3=

131

81

．

（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，
设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球．
试验发生的所有事件是3m，
而满足条件的是

1

3

m+2mp，
根据古典概型公式得到

1 3 m+2mp

3m

=

2

5

，
∴p=

13

30

．

点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．