Question

已知数列{b_n}是公比大于1的等比数列，S_n数列{b_n}的前n项和，满足S₃=14，且b₁+8，3b₂，b₃+6构成等差数列，数列{a_n}满足：a₁=1，a_n=b_n（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

）（n≥2且n∈N^*）．
（1）求{b_n}的通项公式b_n；
（2）证明：

an+1

an+1

=

bn

bn+1

（n≥2且n∈N^*）；
（3）求证：（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）＜4（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知等比数列的通项公式和前n项和公式及等差数列性质，求出首项和通项公式，由此能求出bn=2•2n-1=2n．
（2）由bn=2n，得

1

bn

=(

1

2

)n，从而得an=

1(n=1) 2n-2(n≥2)

．由此能证明当n≥2时，

an+1

an+1

=

bn

bn+1

=

1

2

．
（3）(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)=

a1+1

a1

×

a2+1

a2

×…×

an+1

an

=(

1

2

)n-2×(2n-1)=4-(

1

2

)n-2＜4．由此能证明(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜4．

解答： （1）解：设数列{b_n}的公比为q．
由S₃=14，得b₁+b₂+b₃=14；
由b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，
得6b₂=b₁+8+b₃+6
即

b1+b1q+b1q2=14 6b1q=b1+8+b1q2+6

，消去b₁，得2q²-5q+2=0，
解得q=2或q=

1

2

，又因为q＞1，
所以q=2．将q=2代入b1+b1q+b1q2=14，解得b₁=2，
所以bn=2•2n-1=2n．
（2）证明：由bn=2n，得

1

bn

=(

1

2

)n，
当n≥2时，

1

b1

+

1

b2

+…+

1

b n-1

=

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n-1，
当n≥2时，an=bn(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

b n-1

)=2n[1-(

1

2

)n-1]=2n-2，
所以an=

1(n=1) 2n-2(n≥2)

．
当n≥2时，因为

an+1

an+1

=

2n-2+1

2n+1-2

=

2n-1

2(2n-1)

=

1

2

，
又

bn

bn+1

=

1

2

所以，当n≥2时，

an+1

an+1

=

bn

bn+1

．
（3）证明：(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)=

a1+1

a1

×

a2+1

a2

×…×

an+1

an

=(1+

1

a1

)×

1

a2

×

a2+1

a3

×…×

an-1+1

an

×(an+1)=(2×

1

2

)×

1

2

×…×

1

2

×(2n-2+1)
=(

1

2

)n-2×(2n-1)=4-(

1

2

)n-2＜4．
所以对n∈N^*，(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)＜4．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等式的证明和不等式的证明，解题时要认真审题，要熟练掌握等差数列和等比数列的性质．