Question

某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．

(1)设半圆的半径OA＝r(米)，设建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；

(2)由于条件限制r∈[30,40]，问当r取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)

Answer 1

解析　(1)塑胶跑道面积

S＝π[r²－(r－8)²]＋8××2

＝＋8πr－64π.

∵πr²＜10 000，∴0＜r＜.

(2)设运动场的造价为y元，

y＝150×

＋30×

＝300 000＋120×－7 680π.

令f(r)＝＋8πr，

∵f′(r)＝8π－，

当r∈[30,40]时，f′(r)＜0，

∴函数y＝300 000＋120×－7 680π

在[30,40]上为减函数．

∴当r＝40时，y_min≈636 510，

即运动场的造价最低为636 510元．