Question

在平面直角坐标系上，设不等式组

x＞0且y＞0 y≤-n(x-5)

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为a_n（n∈N^*）．则a₁=

 

，经推理可得到a₂₀₁₅=

 

．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：根据不等式组的解法，分别讨论x的取值，解出y的取值范围即可得到结论．

解答： 解：当n=1时，不等式为y≤-（x-5）=5-x，
当x=1时，y≤4，此时y=1，或y=2，或y=3，或y=4，
当x=2时，y≤3，此时y=1，或y=2，或y=3，
当x=3时，y≤2，此时y=1，或y=2，
当x=4时，y≤1，此时y=1，
当x=5时，y≤0，此时不成立，
即a₁=10．
由x＞0，y＞0，5n-nx＞0，
得0＜x＜5，
∴x=1或x=2或x=3或x=4，
因此D_n内的整点在直线x=1或x=2或x=3或x=4上，记直线y=5n-nx为l，
l与直线x=1或x=2或x=3或x=4的交点的纵坐标分别4n，3n，2n，n
∴a_n=4n+3n+2n+n=10n．
∴a₂₀₁₅=20150
故答案为：10，20150．

点评：本题主要考查二元一次不等式组的应用，利用不等式的即可求出y的取值范围．