Question

5．已知锐角α、β满足：①α+2β=$\frac{2π}{3}$，②tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$，求α、β的值．

Answer 1

分析 利用角的变换以及两角和的正切函数求解即可．

解答 解：α+2β=$\frac{2π}{3}$，可得α=$\frac{2π}{3}-2β$，∴tan$\frac{α}{2}$tanβ=tan（$\frac{π}{3}-β$）tanβ=$\frac{\sqrt{3}-tanβ}{1+\sqrt{3}tanβ}•tanβ$=2-$\sqrt{3}$，
令x=tanβ，可得，$\frac{\sqrt{3}-x}{1+\sqrt{3}x}•x=2-\sqrt{3}$，化简可得，-x²+（3-$\sqrt{3}$）x=2-$\sqrt{3}$，
因为αβ是锐角，可得tanβ=x=1，
∴β=$\frac{π}{4}$，故α=$\frac{5π}{12}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．