Question

20．已知函数f（x）=sinx，x∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）分别求y=f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]及[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的平均变化率；
（2）比较两个平均变化率的大小，说明其几何意义．

Answer 1

分析 （1）根据变化率的定义得出△x，△y，$\frac{△y}{△x}$，
（2）由（1）直接比较即可，其几何意义为y=sinx随着x的增大，函数值的变化越来越慢．

解答 解：（1）∵正弦函数y=sinx，
△x=$\frac{π}{6}$，△y=sin$\frac{π}{6}$-sin0=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{△y}{△x}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{π}{6}}$=$\frac{3}{π}$，
△x=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，△y=sin$\frac{π}{2}$-sin$\frac{π}{6}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{△y}{△x}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{π}{3}}$=$\frac{3}{2π}$，
∴y=f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]及[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的平均变化率分别为$\frac{3}{π}$，$\frac{3}{2π}$
（2）由（1）知，y=f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]及[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的平均变化率为$\frac{3}{π}$，$\frac{3}{2π}$，
∴$\frac{3}{π}$＞$\frac{3}{2π}$，
∴y=sinx，随着x的增大，函数值的变化越来越慢．

点评 本题考查了函数的变化率的运用求解，属于中档题，计算较麻烦，注意运用算．