Question

12．已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞）
（1）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥|2x-1|-|x+1|的最小值为M．
（2））M≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a＞0，b＞0 且a+b=1，得$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$，由此利用基本不等式能求出$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值M．
（2）由M≥|2x-1|-|x+1|恒成立，知|2x-1|-|x+1|≤9，由此利用分类讨论思想能求出x的取值范围．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$≥9，
当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{4a}{b}$
故$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为M=9，
∴M=9．…（5分）
（2）∵M≥|2x-1|-|x+1|恒成立，∴|2x-1|-|x+1|≤9，（7分）
当 x≤-1时，1-2x+x+1=2-x≤9，整理，得x≥-7，∴-7≤x≤-1；
当-1＜x＜$\frac{1}{2}$时，1-2x-x-1=-3x≤9，整理，得x≥-3，∴-1＜x＜$\frac{1}{2}$；
当 x≥$\frac{1}{2}$时，2x-1-x-1=x-2≤9，整理，得x≤11，∴$\frac{1}{2}≤x≤11$．
综上，x的取值范围为[-7，11]．  …（10分）

点评 本题考查基本不等式的应用，考查含绝对值不等式的解法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．