Question

16．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=4，|$\overrightarrow{AC}$|=3，∠A=60°，D是BC的中点，则|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{\sqrt{37}}{2}$．

Answer 1

分析 由向量的中点表示形式，结合向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：D是BC的中点，可得
$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos∠A
=4•3•cos60°=6，
则有$\overrightarrow{AD}$²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）²
=$\frac{1}{4}$（|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$），
=$\frac{1}{4}$（4²+3²+2•6）=$\frac{37}{4}$，
即有|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{\sqrt{37}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{37}}{2}$．

点评 本题考查向量的中点表示形式，考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．