Question

5．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=2，a_n+1=3S_n-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{{log}_4}{a_n}}}（n∈{N^*}$），求证，b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1＜3（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时通过a_n+1=3S_n-2与a_n=3S_n-1-2作差，进而整理即得结论；
（2）通过（1）可知数列{b_n}的通项公式，利用裂项相消法计算即得结论．

解答 （1）解：∵a_n+1=3S_n-2，
∴当n≥2时，a_n=3S_n-1-2，
两式相减得：a_n+1-a_n=3a_n，即a_n+1=4a_n（n≥2），
又∵a₁=2，a₂=3S₁-2=4，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{{4}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）证明：由（1）可知b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{\frac{1}{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∵当n≥2时，b_nb_n+1=$\frac{1}{n-1}•\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1
=2×1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=3-$\frac{1}{n}$
＜3．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查裂项相消法、分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．