Question

15．设点P（x，y）是曲线$\frac{|x|}{8}+\frac{|y|}{6}=1$上的动点，EF为圆N：（x-1）²+y²=4的任意一条直径，则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的范围为（　　）

• A． [$\frac{341}{25}$，77]
• B． [$\frac{441}{25}$，81]
• C． [$\sqrt{37}$，77]
• D． [$\frac{1}{5}$，5]

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$转化为（$\overrightarrow{NE}$-$\overrightarrow{NP}$）•（$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$）=$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$•（$\overrightarrow{NE}$+$\overrightarrow{NF}$）+$\overrightarrow{NP}$²=-|NE|•|NF|•cosπ-0+|NP|²=-4+|NP|²．
再结合|NP|的范围即可求出结论．

解答 解：$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{NE}$-$\overrightarrow{NP}$）•（$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$）
=$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$•（$\overrightarrow{NE}$+$\overrightarrow{NF}$）+$\overrightarrow{NP}$²
=-|NE|•|NF|•cosπ-0+|NP|²
=-4+|NP|²．
点N（1，0）到直线$\frac{x}{8}+\frac{y}{6}$=1的距离为$\frac{|6-48|}{\sqrt{36+64}}$=$\frac{21}{5}$，
∵点P（x，y）是曲线$\frac{|x|}{8}+\frac{|y|}{6}=1$上的动点，
∴|NP|∈[$\frac{21}{5}$，9]
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$∈[$\frac{341}{25}$，77]．
故选：A．

点评 本题主要考查圆的基本性质．解决本题的关键在于会把所求问题转化．