题目内容
15．已知△ABC内一点O满足$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，若△ABC内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为（ ）| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
分析 要求该概率即求S△AOC：S△ABC=的比值．由$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，变形为：3$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{AB}$，得到O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，两三角形同底，面积之比转化为概率．
解答 解：以$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$为邻边作平行四边形OBDC，则$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OD}$
∵$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴3$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{AB}$，
作AB的两个三等分点E，F，则$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{EO}$，
∴O到AC的距离是E到AC距离的一半，B到AC的距离是O到AC距离的3倍，如图
∴S△AOC=$\frac{1}{3}$S△ABC．
故△ABC内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为$\frac{1}{3}$，
故选：C．
点评 本题给出点O满足的条件，求O点落在△AOC内的概率，利用面积比求得；着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识．
练习册系列答案
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| A． | （-1，0）∪（1，+∞） | B． | （-∞，1）∪（0，1） | C． | （0，1）∪（1，+∞） | D． | （-∞，-1）∪（-1，0） |
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=2ccos2$\frac{A}{2}$，则A=（ ）
| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | $\frac{π}{6}$ |
20．若角α的终边过点（-1，2），则tan$\frac{α}{2}$的值为（ ）
| A． | $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$ | B． | $\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$ | C． | $\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}$ | D． | $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$或$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$ |
7．已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an+12=an2+an+22，则a6=（ ）
| A． | 16 | B． | 4 | C． | 2$\sqrt{2}$ | D． | 45 |