Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在点，使为定值？若存在，试求出点的坐标和定值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点为，.

【解析】

试题分析：（1）由离心率为可得，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆的方程为，其与直线相切，利用点到直线的距离等于半径可得，再由即可求得，方程得解；（2）假设在轴上存在点，使为定值，设出点的坐标，根据向量数量积的运算得到坐标的关系，设出直线的方程，整理方程组得到坐标的关系并代入，要使其值与的斜率，则分离参数，让其系数为零，即得点坐标.

试题解析：（1） 由e＝，得＝，即c＝a ① 又因为以原点O为圆心，

椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且与直线2x－y＋6＝0相切，

a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2.

椭圆的方程为＋＝1.

（2）由 得：（1＋3k2）x2－12k2x＋12k2－6＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝，x1·x2＝，

根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得2＋·＝·（＋）＝·为定值，

则有： ·＝（x1－m，y1）·（x2－m，y2）＝（x1－m）·（x2－m）＋y1y2

＝（x1－m）（x2－m）＋k2（x1－2）（x2－2） ＝（k2＋1）x1x2－（2k2＋m）（x1＋x2）＋（4k2＋m2）

＝（k2＋1）·－（2k2＋m）·＋（4k2＋m2）＝.

要使上式为定值，即与k无关，则应使3m2－12m＋10＝3（m2－6）， 即，

此时 为定值，定点为.