Question

1．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，已知点P（0，$\frac{3}{2}$）到椭圆上的点的最远距离是$\frac{7}{4}$，则短半轴之长b=（　　）

• A． $\frac{1}{16}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，可得：椭圆的标准方程为：x²+4y²=4b²．可设椭圆上的任意一点Q（x，y），则x²=4b²-4y²，（-b≤y≤b）．|PQ|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{-3（y+\frac{1}{2}）^{2}+4{b}^{2}+3}$．对b与$\frac{1}{2}$的大小关系分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，可得：c²=3b²，a²=4b²．
∴椭圆的标准方程为：x²+4y²=4b²．
可设椭圆上的任意一点Q（x，y），则x²=4b²-4y²，（-b≤y≤b）．
∴|PQ|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{-3（y+\frac{1}{2}）^{2}+4{b}^{2}+3}$．
①若-b＞-$\frac{1}{2}$即0＜b$＜\frac{1}{2}$，则当y=-b时|PQ|²最大，即$（-b-\frac{3}{2}）^{2}$=$（\frac{7}{4}）^{2}$，解得b=$\frac{1}{4}$．
②若-b≤-$\frac{1}{2}$≤b，即$b≥\frac{1}{2}$时，y=-$\frac{1}{2}$时，4b²+3=$（\frac{7}{4}）^{2}$，解得b=$\frac{1}{8}$，与$b≥\frac{1}{2}$矛盾，舍去．
综上可得：b=$\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、二次函数的单调性、两点之间的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．