Question

11．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
（1）用“五点法”作出f（x）在$x∈[-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$上的简图；
（2）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；
（3）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．

Answer 1

分析 （1）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象．
（2）利用正弦函数的单调性以及图象的对称性，求出f（x）的对称中心以及单调递增区间．
（3）利用正弦函数的最值求得f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．

解答 解：（1）对于函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，在$x∈[-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$上，2x+$\frac{π}{4}$∈[0，2π]，列表：

2x+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2
x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
f（x）	1	2	1	0	1

作图：

（2）令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，可得函数的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，0），k∈Z．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（3 ）令2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{π}{8}$，可得函数f（x）的最大值为2，此时，x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．

点评 本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题．