在平面直角坐标系xOy中.对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1.y1).P2(x2.y2).若P1P2⊥l.垂足为P0.且$\overrightarrow{{P 1}{P 0}}=λ•\;\overrightarrow{{P 0}{P 2}}$.则称点P1.P2关于直线l成“λ对称．若曲线C上存在点P1.P2关于直线l成“λ对称 .则称曲线C为“λ对称曲线 � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），若P₁P₂⊥l，垂足为P₀，且$\overrightarrow{{P_1}{P_0}}=λ•\;\overrightarrow{{P_0}{P_2}}$，则称点P₁，P₂关于直线l成“λ对称”．若曲线C上存在点P₁，P₂关于直线l成“λ对称”，则称曲线C为“λ对称曲线”．
（1）设P₁（0，3），P₂（3，0），若点P₁，P₂关于直线l成“$\frac{1}{2}$对称”，求直线l的方程；
（2）设直线l：x-y+1=0，判断双曲线x²-y²=1是否为“λ对称曲线”？请说明理由；
（3）设直线l：x+y=0，且抛物线y=x²-m为“2对称曲线”，求实数m的取值范围．

分析（1）设P₀（x₀，y₀），由$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{0}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{P}_{0}{P}_{2}}$，可得x₀=1，y₀=2，即可求直线l的方程；
（2）直线l：x-y+1=0与其中渐近线x-y=0平行，双曲线x²-y²=1不是为“λ对称曲线”；
（3）设直线P₁P₂：y=x+t，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{y={x^2}-m}\end{array}}\right.$⇒x²-x-t-m=0，由$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{0}}$=2$\overrightarrow{{P}_{0}{P}_{2}}$，可得x₀=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+2{y}_{2}}{3}$，代入x₀+y₀=0得x₁+2x₂+y₁+2y₂=0，化简，即可求实数m的取值范围．

解答解：（1）由题意：$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$=（3，-3）…（1分）
设P₀（x₀，y₀），由$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{0}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{P}_{0}{P}_{2}}$，
可得2（x₀-0）=3-x₀，2（y₀-3）=0-y₀，
所以x₀=1，y₀=2，…（3分）
所以直线l：3（x-1）-3（y-2）=0，
即所求直线l：x-y+1=0； …（4分）
（2）双曲线x²-y²=1不是为“λ对称曲线”…（6分）
事实上，双曲线x²-y²=1的两条渐近线分别为x-y=0，x+y=0，它们互相垂直，
直线l：x-y+1=0与其中渐近线x-y=0平行，
所以双曲线x²-y²=1上不可能存在两点P₁，P₂，更别说满足$\overrightarrow{{P_1}{P_0}}=λ•\;\overrightarrow{{P_0}{P_2}}$ …（8分）
（3）因为抛物线y=x²-m为“2对称曲线”，所以存在点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
设直线P₁P₂：y=x+t，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{y={x^2}-m}\end{array}}\right.$⇒x²-x-t-m=0
其中△=1-4（-t-m）＞0，且$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=1}\\{{x_1}{x_2}=-t-m}\end{array}}\right.$
又由$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{0}}$=2$\overrightarrow{{P}_{0}{P}_{2}}$，可得x₀=$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+2{y}_{2}}{3}$
代入x₀+y₀=0得x₁+2x₂+y₁+2y₂=0
所以x₁+xy₂+（x₁+t）+2（x₂+t）=0$⇒{x_2}=-\frac{3}{2}t-1，{x_1}=2+\frac{3}{2}t$…（12分）
由△=1-4（-t-m）=1-4x₁x₂＞0得$1-4（-\frac{3t}{2}-1）（2+\frac{3t}{2}）＞0$⇒t≠-1…（14分）
由x₁x₂=-t-m得m=-t-x₁x₂=$-t-（-\frac{3t}{2}-1）（2+\frac{3t}{2}）$=$\frac{9}{4}{t^2}+\frac{7}{2}t+2$=$\frac{9}{4}{（t+\frac{7}{9}）^2}+\frac{23}{36}$∈[$\frac{23}{36}$，+∞）．
即所求实数m的范围为[$\frac{23}{36}$，+∞）．…（16分）