Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），满足4y₁y₂=x₁x₂．
①试证k_AB+k_BC的值为定值，并求出此定值；
②试求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，-y₁），不妨设x₁＞0，x₂＞0．设k_AC=k＞0，将直线AC和直线BD方程代入椭圆方程，解得A，B的坐标，可得C的坐标，再由斜率公式，计算即可得证；
②由①可得四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD面积S=4S_△AOB=4×$\frac{1}{2}$|AB|•d（原点到直线AB的距离为d），运用直线AB和椭圆方程联立，由韦达定理和弦长公式，结合点到直线的距离公式和基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²-b²=c²，
椭圆过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=1．
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）①证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，-y₁），
不妨设x₁＞0，x₂＞0．
设k_AC=k＞0，∵k_AC•k_BD=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，∴k_BD=$\frac{1}{4k}$．
可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，y=$\frac{1}{4k}$x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4k}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，x₂=$\frac{4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
即有y₁=$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，y₂=$\frac{1}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
k_AB+k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{1-2k}{4k-2}$+$\frac{1+2k}{4k+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，
则k_AB+k_BC的值为定值，且为0；
②由①可得四边形ABCD为平行四边形，
则四边形ABCD面积S=4S_△AOB=4×$\frac{1}{2}$|AB|•d（原点到直线AB的距离为d），
设直线AB：y=-$\frac{1}{2}$x+m，
代入椭圆方程可得2x²-4mx+4（m²-1）=0，
则有x₁+x₂=2m，x₁x₂=2（m²-1），
即有S=2$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{4{m}^{2}-8（{m}^{2}-1）}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$
=4$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$≤4$\sqrt{（\frac{{m}^{2}+2-{m}^{2}}{2}）^{2}}$=4，当且仅当m²=1时，取得等号．
即有四边形ABCD面积的最大值为4．

点评 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键