Question

7．已知抛物线y²=2x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为1．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|-1=|AB|-1，求得|AB|的最小值即可．

解答 解：抛物线y²=2x的焦点F（$\frac{1}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{1}{2}$，
由抛物线的定义可得，|AF|=|AC|+$\frac{1}{2}$，|BF|=|BD|+$\frac{1}{2}$，
即有|AC|+|BD|=|AF|+|BF|-1
=|AB|-1，
当直线AB⊥x轴时，|AB|最小．
令x=$\frac{1}{2}$，则y²=1，解得y=±1，
即有|AB|_min=2，
则|AC|+|BD|的最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法及运算能力，属于中档题．