Question

5．极限$\underset{lim}{x→+∞}$（sin$\sqrt{x+1}$-sin$\sqrt{x}$）=0．

Answer 1

分析 根据三角函数和差化积公式，及分子有理化公式便可得到$sin（\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x}）=2cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}$$sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$，可以看出函数$cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}$有界，而$\underset{lim}{x→+∞}sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$=0，从而得出所求极限为0．

解答 解：$sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x}$=$2cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}sin\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}$=$2cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}$；
$|cos\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}|≤1$，$\underset{lim}{x→+∞}sin\frac{1}{2（\sqrt{x+1}+\sqrt{x}）}=0$；
∴$\underset{lim}{x→+∞}（sin\sqrt{x+1}-\sqrt{x}）=0$．
故答案为：0．

点评 考查三角函数的和差化积公式，两角和差的正弦公式，函数极限的概念及求法，有界函数和无穷小量的乘积仍是无穷小量．