Question

【题目】如图，四边形是边长为2的菱形，且，平面，，，点是线段上任意一点.

（1）证明：平面平面；

（2）若的最大值是，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出AC⊥BM，AC⊥BD，从而AC⊥平面BMND，由此能证明平面EAC⊥平面BMND．

（2）由AE＝CE＞1，cos∠AEC＝1，∠AEC∈（0，π），得到当AE最短时∠AEC最大，即AE⊥MN，CE⊥MN时∠AEC最大，∠AEC是二面角A﹣MN﹣C的平面角，大小是120°，可得AE．取MN得中点H，连接H与AC、BD的交点O，由题意知OH⊥平面ABCD，建系，利用向量法结合∠AEC=120°求得ND，利用VM﹣NAC＝VM﹣EAC+VN﹣EAC能求出三棱锥M﹣NAC的体积．

（1）因为平面，则.

又四边形是菱形，则，所以平面.

因为在平面内，所以平面平面.

（2）设与的交点为，连结.因为平面，则，又为的中点，则，所以，.

当最短时最大，此时，，，.

取的中点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设，且a<,

则点，，，，.

设平面的法向量，

则，

取，则，

同理求得平面的法向量.

因为是二面角的平面角，则

，解得或,又a<，

因为，，，

则 .