Question

【题目】若各项均不为零的数列的前项和为，数列的前项和为，且，.

（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）设，是否存在正整数，使得对于恒成立.若存在，求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析，；（2）存在，最小值为1.

【解析】

(1) ，①，得，②,然后②-①得,③

当时，，④, ③-④得,验证时也成立,从而可证数列是等比数列,由定义可求得通项公式,

(2)求出后,利用裂项求和可求得,再根据恒成立可求得的最小值.

，①，，②

由数列的前项和为，数列的前项和为及②-①得

,

,

，，③

从而当时，，④

③-④得，即，所以，

，.

，令，得，，.

当时，由得，

由知，此时.

数列是以为首项，以为公比的等比数列，且.

（2）,

,

.

假设存在正整数，使得对于恒成立，

则,所以的最小值为1.