Question

10．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象交于点A，与x轴、y轴分别交于点B、C，过点A作AD⊥x轴于点D，过点D作DE∥AB，交y轴于点E，已知四边形ADEC的面积为6．
（1）求k的值；
（2）若AD=3OC，tan∠DAC=2，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）设函数y=ax+b与y=$\frac{k}{x}$图象的交点A（m，$\frac{k}{m}$），判断四边形ADEC是平行四边形，利用面积公式列出方程求出k的值；
（2）根据题意设出点A、B、C的坐标，列出方程组求出对应的坐标，即可求出点E的坐标．

解答 解：（1）设函数y=ax+b与y=$\frac{k}{x}$图象的交点A（m，$\frac{k}{m}$），其中m＜0；
则|AD|=$\frac{k}{m}$，|OD|=|m|=-m，
又DE∥AB，且AD∥CD，
∴四边形ADEC是平行四边形，其面积为
|CE|•|OD|=$\frac{k}{m}$•（-m）=6，
解得k=-6；
（2）∵k=-6，∴y=$\frac{-6}{x}$；
设函数y=ax+b与y=$\frac{-6}{x}$（x＜0）图象的交点A（m，$\frac{-6}{m}$），其中m＜0；
且与x轴、y轴分别交于点B（-$\frac{b}{a}$，0）、C（0，b），
则点D（m，0），且AD=CE；
∵AD=3OC，∴$\frac{-6}{m}$=3b①；
又tan∠DAC=2，∴-$\frac{b}{a}$-m=2•$\frac{-6}{m}$②；
又$\frac{-6}{m}$=am+b③，
由①②③组成方程组，解得m=-2$\sqrt{2}$，a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴OE=2OC=$\sqrt{2}$，
则点E（0，-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的应用问题，也考查了方程思想与数形结合思想的应用问题，是综合性题目．