Question

3．已知函数f（x）=xe^x，g（x）=e^x-1．
（1）比较f（x）与g（x）的大小．
（2）若正项数列{x_n}满足：x₁=1，f（x_n+1）=g（x_n）（n∈N^*）
求证：①x_n+1＜x_n；②x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）先作差f（x）-g（x）=（x-1）e^x+1，可设F（x）=（x-1）e^x+1，根据导数可求得F（x）的最小值H（0）=0，从而得到f（x）≥g（x）；
（2）①先假设x_n+1＜x_n成立，根据f（x）的单调性能得到g（x_n）＜f（x_n），由（1）知这是正确的，所以假设成立，从而得证；
②这是关于自然数N的命题，所以可考虑用数学归纳法来证明：根据数学归纳法的步骤，n=1时容易得到成立，假设n=k时成立，根据g（x）的单调性及对条件f（x_n+1）=g（x_n）的运用，证出n=k+1时原结论成立即可，从而完成证明．

解答 解：（1）f（x）-g（x）=xe^x-e^x+1=（x-1）e^x+1；
设H（x）=（x-1）e^x+1，H′（x）=xe^x，H（0）=0；
∴x＜0时，H′（x）＜0，x＞0时，H′（x）＞0；
∴x=0时，H（x）取到最小值0；
∴H（x）≥0；
∴f（x）≥g（x），当x=0时取“=”；
（2）①证明：若x_n+1＜x_n，则：
∵x＞0时，f′（x）=（1+x）e^x＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴f（x_n+1）＜f（x_n）；
∴g（x_n）＜f（x_n）；
即f（x_n）-g（x_n）＞0；
由（1）知这是成立的，所以x_n+1＜x_n成立；
②证明：1）n=1时，$1＞\frac{1}{2}$，即此时${x}_{n}＞\frac{1}{{2}^{n}}$成立；
2）假设n=k时，${x}_{k}＞\frac{1}{{2}^{k}}$成立，则：
∵g′（x）=e^x＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴$g（{x}_{k}）＞g（\frac{1}{{2}^{k}}）$；
又f（x_k+1）=g（x_k），$g（\frac{1}{{2}^{k}}）=f（\frac{1}{{2}^{k+1}}）$；
∴$f（{x}_{k+1}）＞f（\frac{1}{{2}^{k+1}}）$；
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴${x}_{k+1}＞\frac{1}{{2}^{k+1}}$；
∴综上得对于任意n∈N^*，都有${x}_{n}＞\frac{1}{{2}^{n}}$成立．

点评 考查构造函数解决问题的方法，根据函数的导数求函数最值的方法，掌握证明方法：先假设结论成立，通过条件及方法的运用说明得到的结论是正确的，从而说明原假设成立，以及熟练用数学归纳法证明命题的步骤，根据函数导数判断函数的单调性，函数单调性定义的运用．